上周和朋友们聊天，讲起各自家中小娃学数学的事，瞬间点燃了大家的欢乐之源，同时也让同有人生迷茫之感的老父亲老母亲找到了战友，在交流各自战斗经验的过程中，我们共同体会到：教自家娃学数学是一种坎坷经历，能体会到各种世事之艰难，人间之不值，实在是一场令人激动的修炼。

交流中，大家普遍的困惑在于：孩子学数学，很多时候看似明白了，但只要过一段时间就会遗忘，或者换一种形态就迷惑了。换言之，就是孩子对数学的理解非常之肤浅，触及不到数学的核心结构，而家长也缺乏方法帮助孩子扩展对数学理解的广度和深度，使得孩子的学习在浅层徘徊。

另一个困境在于，数学是对思维的探究和淬炼，但思维是无形的，教学往往只能从问题出发，最终又回归问题解答来验收学习效果，结果很容易丢失学习的实质，忽略理解的过程，最后大家都盯着题目，所以刷题式的数学学习越来越低龄化，因为大家看不到第二条路。

但是，所有学习中孩子没有搞清楚的细小问题，并不会随着年龄增长自然消失，最后都会汇聚起来，在某些阶段集中爆发，可能是在学习加减运算的阶段，或者在学习混合运算的阶段，亦或者在应用题上。当在刷题学习中掩盖的隐形问题上升为显性问题，老父亲和老母亲的硬核游戏就此展开一段精彩刺激的历程。

所以，每一个孩子暴露出来的数学显性问题，都必定有一个隐藏的思维关卡被忽略，没有通关。如果我们真正想治标治本，或许我们可能就要放慢脚步，退一步去寻找孩子思维上的原因。

正如莎伦.格里芬在《学生是如何学习的》丛书中所言：“获得对数的理解是一个漫长、渐进的过程。”

慢，有时并不是问题，不理解才是。

被忽略的思维关卡造成了怎样的障碍？

记得有一次，我和我父亲在聊天时我对着他叫了一声“爸爸”，当时还在上中班的大娃听到了，眼睛瞪得贼圆，劈面斧正道：“不对，那是爷爷，不是爸爸，你才是爸爸！”所言之理直气壮，令人呵呵。

从那天开始，我就开始天天给他放一首儿歌，就是现在各大商场门口摇摇椅上的经典歌曲：“爸爸的爸爸是爷爷，爸爸的妈妈是奶奶……”虽然后来他已经把这首儿童背的滚瓜烂熟，但是并没有什么用——他依然认为我喊我爸叫爸爸是不对的，要喊爷爷，并且言之灼灼：“爸爸的爸爸是爷爷嘛，你应该喊爷爷”。

这使得我家的辈分一度发生量化宽松。

这是在家里。到了外面，孩子的社会性往往表现出这样的情景：两个小朋友抢一个玩具，双方都非要那个被争夺的玩具，老师就算再拿一个完全一样的玩具来，也不一定会和解。

这些现象背后隐藏的思维问题到底是什么呢？

根据教科书的解释，这叫幼儿的思维缺乏灵活性，常常会认死理。究其原因，是因为孩子对真实世界的经验相对较少，对各种模式关系了解的不够造成的。事实上，孩子在很长的一段时间内，无法理解相对性的概念，以及事物的多样性。

而那么这种相对思维的关卡，在数学的启蒙上又会造成怎样的障碍呢？我们往往忽略掉的又是什么？

数学思维中存在着大量的相对思维、辩证思维，抽象思维则是数学思维的核心部分。而相对性思维的发展不足，会阻碍孩子理解事物在两个维度上的同时变化，进而影响孩子抽象思维的发展。

我们容易忽略的是，思维有的时候很难随着自然生长而自动进化，或者说，生理上的因素只是给了我们提供了基础条件，但建构思维需要一些激发，以及思考的持续练习。从建构思维大厦的角度来说，没有一种思维是可以凭空建立的，需要有思维的层层奠基。

让我们来看一个实际的案例，讲一道大家耳熟能详，已经被讲烂掉的数学题——鸡兔同笼。从另一个角度来说，这道被讲烂的题目又可能是我们几代人的共同噩梦。

笼子里一共关着8只鸡和兔，笼子下面露出20只脚，请问鸡和兔各有几只？

鸡兔同笼问题为什么成为经典数学题，历经一千多年而不衰？除了数学方程意义上的价值之外，更重要的方面在于这道题体现了两种量的同时变化——鸡和兔，头和脚。

鸡兔脑袋的数量是合并出现的，脚的数量也是合并出现的，我们没有办法立即去确定其中任何一方的数量，导出另一方的数量，这使得我们的大脑产生了很大的困扰，我们需要设计新的大脑路径去思考这个问题。

首先我们需要接受数量是会相对变化的这一现实，然后在这种相对变化中，运用想象营造出一种确定性去替换这种相对性，慢慢找出一条新的路径，在这个过程中，大脑会非常的不适应，但这正是需要我们去克服的。

在变化中，寻找不变的因素，运用想象构建一种新平衡。所以有人想出了换元法：想象把所有的兔子都换成鸡。又有人想出了砍脚法：想象把所有的兔子腿都砍下两只（可爱的兔兔怎么忍心下得了手？！）。

其实具体什么方法并不重要，重要的是在找寻方法、或者理解方法的过程中，我们认识到事物的两维变化，所以用矩形的长宽两维变化来表征问题中的头数与脚数，能更直观的让我们理解究竟发生了什么。

这样的两维变化，实质上就是相对性思维的体现，对我们思维的辩证性提出了挑战。其实不只是孩子，即便很多成年人也依然存在理解障碍。其实质在于我们的大脑倾向接受确定性的结论，不太能接受相对和变化。换一种说法，大脑的底层本质是一个记忆工具，思维功能是后天慢慢建构、不断磨砺才能熟练应用。

我们有没有解决之道？

关于相对性的思维难关，我之前也和其他家长分享过，有家长跟我反馈说：“夏老师，我仔细把这个问题放到我家孩子身上想了一遍，估计他是明白不了这个相对性的，你有米有啥子方法可以很快让孩子理解呢？”

数学从学科角度来看，是反人性的。这个反人性没有任何贬义的意思，而是数学思维不是遵循人类的常规思维往前推进的学科，是另辟蹊径、精细分析的思维产物。同时，数学的学习，可以看作是对我们思维的磨砺，既说是磨砺，自然是有迹可循，却无捷径可言。

就拿“爸爸的爸爸是爷爷”这个例子而言，孩子最后是怎么理解这个情景中相对性的问题呢？当他去到别的同学家里，发现他们同学的爸爸也在喊爷爷爸爸，甚至身边的长辈也在喊父辈爸爸，最后他发现在他身边遇到的所有的人都是这样，这样他就会生出一种反思——之前的想法是不是有问题？

我们把这种思维上因矛盾冲突形成的反思称为元认知，而这种元认知的启动，需要建立在孩子的经历增多的基础之上。

同样的，学数学也是如此。孩子需要积累大量的相对性感性经验，才可能开始理解抽象性和相对性。

让我从孩子最早期认识数量的阶段开始讲起：

1、2、3、4、5、6、7这些数字的本质并不是冷冰冰的符号，在它们的背后是实实在在存在着的物体数量，所以从这个角度来说，数学并不是一本关于数字的学问，而是关于数量的学问。

数字用了一种比日常语言（诸如：很多，一点，更多之类）更为精确的表述方式来表达数量，但是数字对数量的表达又是相对和抽象的，比如5这个数字，就不是绝对的表达为5个苹果，而是可以表达任何关于5数量的事物，这就呈现出一种事物的多样性，多样性归结于一个数字5，显示出来的是5这个数字的抽象性。

所以这里的认识逻辑是：认识多样性——感受相对性——产生抽象性。

如果孩子没有认识到5这个数字可以表达了多样性事物的具体数量，比如孩子只认为“5”就是五个苹果的绝对表达，那么在后面的阶段学习中，他就很难理解5筐苹果，每筐5个的相对变化，进而对乘法中两个维度的变化无法理解。

很多孩子在学习乘法提取公因式中常常会犯一个错误，他们会把：3×7+2×3+3转化成3×（7+2+3），没有发现最后一项“3”其实是“1个3”可以转换成“1×3”，本质上就对数字表达内涵的多样性、相对性没有充分的理解。

家长要在孩子早期认识数字的时候，就能够充分地帮助他去发现生活中数字的不同内涵，更重要的是在分类后，帮助他发现在不同层次的事物中，数字都能表达数量，那么孩子就会获得最大量的数量多样性的经验样本，对孩子相对性思维、辩证逻辑、抽象性思维的萌发有着很重要的意义。

比如“5”，可以用来表达5个人，进而可以表达5个男人、5个女人、5个老人或5个小孩，那么，孩子在“人”这个结构层次上，立体的理解了“5”这个数量。

再比如“5”也可以表达5次掌声、5声喝彩、刮5次鼻子、眨5次眼睛，在这个层面上“5”又代表了非实物或者是动作的数量，在这个层面上，孩子对抽象性的理解又进了一步。古希腊哲学说“物理学之后”，意思就是思维不是眼见，眼见只是虚像，这样的思绪直接带出了抽象逻辑观念。

进而，我们还可以让孩子去感受“5”个音符、“我想吃苹果”是“5”个字，“5”句祝福的话，甚至5个5等等。在字符符号等更抽象的层面感知“5”这个数量。这样又使得孩子对抽象的认识有了更深的感性积累。

十九世纪欧洲算术书有一首古老的歌谣：

我赴圣地爱弗西

途遇妇女数有七

一人七袋手中提

一袋七猫数整齐

一猫七子紧相依

妇与布袋猫与子

几何同时赴圣地

无独有偶，这样数量分组包含、阶乘的结构形式，在安野光雅的《壶中的故事》绘本中也得到了充分的体现：

一个壶里有一片海；海上有1个小岛；岛上有2个国家；2个国家里各有3座山；3座山上各有4座城堡；4座城堡里各有5个村庄；5个村庄里各有6栋房子；6栋房子里各有7间房间；7间房间里各有8个柜子；8个柜子里各有9只箱子；9只箱子里各有10个壶；最后算一下有3628800个壶。

这都很好的体现出数字代表量的相对性和抽象性，不妨念给孩子听听，问问他们的感受。

当然，如果仅仅是用上面列举的那些方法，让孩子去感知生活中数代表的实际数量的情形，还是远远不够的，这种单项的输入模式并不能确保孩子能够主动建构出对数量多元的认识，需要有孩子主动的输出，也需要成年人帮助孩子进行总结。这里提两个比较重要的方法：

第一、孩子需要进行数量的“转换表征”。

第二、成年人需要向孩子展示数表征的主要形式。

• 转换表征

先说说“转换表征”，这什么意思呢？简单的说，就是一种关系的对应比喻，比方说：我们孩子去幼儿园，有时候老师会给孩子贴笑脸，笑脸代表孩子在某些行为符合要求，一个笑脸就代表符合一次要求，这就可以看做是一种表征。

或者我们去游乐园，玩好回家，请孩子数一数还有多少个代币没用掉。当然孩子可以用数字来表达，告诉我们还剩10个代币等等，但是这不是表征，只是单纯的计数，转换表征是要孩子用另一种方式来比喻，比方说画10个点点代表还剩10个代币，或者撕10张便签纸代表10个代币等等。

这种方法，从本质上是让孩子对数量多样性认识的一种应用，或者说是一种表征的练习，如果再进一步，就接近数据统计了，也能从中生发出一些推理和分析，比如谁多谁少之类的问题。

• 成年人需要向孩子展示数表征的主要形式

这指的是：孩子在一开始进行数量表征的时候，往往采用的方式是用一样实物来表征另一样实物，比如用6块积木代表家里的6个人，但是慢慢的，对孩子思维的要求要提升，我们就需要给孩子呈现一些更为抽象的表征方式，比如前面说的用“点”来表示，也就是用“图像”等等。

一般来说，从易到难，我们成人能够向孩子展示的主要表征方式包括：

• 实物的表征

• 图像的表征

• 线表征（数轴或棋盘中的步数）

• 柱状图表征

• 刻度盘的环形表征

这样多样式的表征展示，其目的在于帮助孩子建立表征的网络结构，让孩子对数量的表征能够变的更多维和丰富，从而使得对数的相对性及抽象性理解的更充分。

当然，上述的不同表征类型不是一下子全部展示给孩子的，而是应该在孩子的表征活动过程中，慢慢向孩子揭开画卷，并且要让孩子在活动中使用的。

最后说两句，回到我们今天所聊的主题：孩子数学启蒙中的一个隐藏思维关卡——思维的相对性。以上说的内容也只是相对性思维解锁的一个方面，除了数量的深入认识之外，儿童在高矮、长短、宽窄等物体量的相对性认识，以及对多项比较时候的相对性（比如大中小的比较排序，等量代换等内容）上，也存在需要攻克的思维难关，需要更多的活动去支撑孩子们理解。

而在这些基础的认知完成后，当孩子进入运算的认识，依旧还面临相对性问题的挑战。

比如在加法的学习中，理解数量合并的加法比较容易，如小明有3只苹果，花花又给了他1颗，小明一共有多少颗苹果？对这样的问题，孩子很快能够理解3+1=4。但是在相对性的比较问题面前，同样是加法，孩子就较难理解：比如小明有2颗苹果，花花比小明多3颗，问花花一共有多少颗？

所以还是这句话，数学题的答案容易获得，但思维的养成非一日之功，在一个数字或一个算式背后，隐藏着非常丰富的内涵，如果我们把数学仅仅看作是一种结论或固定的解答程序，我们就无法真正认识它。

这种无法认识，指的不仅仅是数学，更是对这个多变复杂的世界，那些包含无限可能性的万物的多重变化的不可知，而数学，在这种流变的不确定之中，给我们提供了一种认识真实的稳定可能。

只不过对我们的孩子而言，需要成人用持续的耐心，来帮助他们解锁那隐藏思维关卡中的智慧闪光。

本文转载自微信公众号“外滩教育”，作者夏骏轶。文章为作者独立观点，不代表芥末堆立场。