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译者推荐：

“数学不好”可能由多种因素造成。本文中，作者着重讨论了“识数能力缺陷”，并通过最新的神经科学与神经影像学研究探讨其成因；同时，给出了两个通过适应性学习程序进行干预的案例；文章还讨论了研究这一问题的意义与一些值得进一步研究的问题。此文对从事数学教学、特殊教育的读者必有所帮助；对其他读者，也可通过此文拓宽视野、广博见闻，并了解如何客观地表征人类的学习。 

本文选自SCIENCE ，作者 Brian Butterworth, Sashank Varma, Diana Laurillard，译者 ginger、芋辰、孙欣怡、Iris、AtKun。

发展性计算障碍指数学学习能力紊乱，患病率约在5％～7％之间，该比例与发展性阅读障碍相当。英国政府的一份主要报告总结表明：“相比发展性阅读障碍，发展性计算障碍并未收到应有的关注。计算障碍的后果和阅读障碍一样严重。计算障碍所获得的研究经费严重不足。从这些数据中可以看出：自2000年以来，美国国家卫生研究院（NIH）在阅读障碍上投入的研究经费达1.072亿美元，而计算障碍所获得的经费只有230万美元。

在临床上，对计算障碍的确诊是将患者数学成绩欠佳作为衡量标准，而并非确认其认知表型。因此，人们无法在干预的环境下，或在复杂的数学教学大环境下，提供及时有效的补救措施。

数学水平低会给国家造成巨大的经济负担，提高数学水平能够大大增加国家经济实力。经济合作与发展组织（OECD）的最近一项分析研究表明：根据历史经验， 提高个人数学和科学学科水平1.5个标准差，能实现0.87％人均国内生产总值（GDP）的年增长率。时间滞后相关性研究表明, 教育水准的改善有助于GDP增长。仅仅通过帮助数学水平欠佳的学生达到国际学生评估计划（PISA）的最低标准（所有经合组织国家每年增加0.68％），就能够实现GDP实质性的长期增长。例如，在美国，若能帮助处于最底端的19.4％的学生达到最低（PISA）标准，美国的对应GDP增长率可达0.74％。

除了GDP增长缓慢之外，数学水平低也会给政府以及个人带来巨大财政和个人经济负担。一组英国研究发现，和低识字能力相比，数学水平低更会为个人生活带来困扰，比如收入会更低，消费更少，更容易生病，更可能触犯法律，更需要得到学校的帮助。每年英国在数学障碍上的开销达24亿英镑。

什么是计算障碍？

近期神经行为和遗传研究表明，计算障碍是一种认知缺陷症状。学术文献中(对计算的定义)有多种专业术语，但核心内容一致：学习者在学习数学过程中，存在严重的问题。“百里挑一”的计算障碍者存在正常智力发育（迟缓）和工作记忆（有限）等症状，还伴有其他的发展型障碍，例如阅读障碍，多动症（ADHD）。但是，需要指出的是有的患有计算障碍的成年人在某些地方表现惊人，例如他们非常擅长几何、统计、高难度的电脑编程。

研究证据表明：数学学习能力具有极强的遗传性。科学家对1500对同卵和1375对异卵七岁的双胞胎做基因分析，发现：30%的遗传基因和数学能力有关。尽管计算障碍和阅读障碍存在共发性，对阅读障碍患者的一级亲属的研究表明：数字能力是单独的构成因素，同时伴有阅读和列举另外两个主要因素。这些研究结果揭示了：算数学习过程有部分是基于认知系统，有别于其他的一般的学派观点。

该基因研究由神经行为研究作为理论依据及支持，算术发展的核心（根基） 是人们具有识别并算出一组物体的数量的能力（即识别物体集合的数量）。计算障碍者缺乏该基本能力，无法算出小量物体的数量，也无法比较两组点阵的数量。儿童和成年人的比较点阵的能力直接影响了数学学习总体能力。处理数字能力的认知缺陷和阅读障碍患者对语音识别的认知缺陷有异曲同工之妙。

虽然研究领域还没有很多对计算障碍做的纵向调查研究，但是计算障碍可能伴随成长，甚至影响那些在其他认知领域没有任何问题的成年人。所以，有必要进一步研究对计算障碍者早期正确干预的影响。对于计算障碍到底是发展延缓的一种表现，还是发展缺陷，是否可以通过教育来解决计算障碍所带来的困扰等类似问题还有待讨论。

不少有关手指表征的大脑以及神经研究都有提及计算障碍这一发展缺陷。众所周知，人们会用手指的帮助来学习数学，提高数学能力。比如在数物体的时候会用手指帮忙。如果大脑对手指表征不敏感（大脑无法识别手指），或者说对数组的概念有缺陷，孩子的认知发展中，就无法建立手指和数字之间的关联。识别手指的发展缺陷可以预测孩子的数学学习能力。Gerstmaan综合症的主要症状包括计算障碍和识别手指障碍（finger agnosia）。病因是由于大脑顶叶发展异常，以及其发育的过程和数学学习能力有直接的关联。

数字对计算障碍者没有太大的意义，有别于常人。他们无法凭直觉掌握数字的大小，数值之间的比较。这些基本的理念支撑着所有和数字有关的工作。 

对神经病患者近百年的研究表明：大脑的顶叶和数学能力有关，有别于语言和专业方面的认知能力。一个特别有趣的发现是，人的大脑即便无法记起细节，数学概念和法则也得以保留；反之亦然，即便无法理解算术概念和法则，依然可以记得细节。

神经影像学实验证实了这一点，并揭示了顶叶和左额叶之间的大脑区域和处理更复杂任务的关联性。一个重要的新发现是，数学学习的神经组织呈动态性，会在学习的过程中从一个子网络转变到另一个子网络。因此，学习新的算术细节主要动用了额叶和顶内沟（IPS），但运用先前学过的细节则牵涉到左角形脑回—这一部位的主要功能是回忆细节。即便是优秀的计算者也要运用到这一网络——他们还补充运用了其他脑区，拓展了工作记忆的能力。

目前，大量证据表明，顶内沟支持了符号数值的表征，不论是模拟数值，还是编码基数的离散表示。当处理物体阵列数值时，顶内沟会激活。除此之外，当顶内沟的运作受到磁刺激的干扰时，估算离散数值的能力也随之受到影响。重点在于，几乎所有的算术和计数过程都涉及顶叶，特别是顶内沟。这意味着这些大脑部位是数学能力的核心。 

四岁儿童和成年人回应数量变化时，大脑活动模式显示出双侧顶叶有重合区域。然而，更复杂数学能力的神经组织遵循着一定的发展轨迹。首先，处理日常和数字有关活动的大脑区域随年龄而变化，从额叶区（与执行功能和工作记忆相关）转至内侧颞区（与陈述性记忆相关），再转至顶叶区（与数值处理和提取算术细节相关）和颞枕区（与符号形式处理相关）。这些变化容许大脑更高效且自动地处理数字，从而使其能够处理更复杂的数学运算。正如A. N. Whitehead观察所得，对符号表示法的理解“让大脑从所有不必要的工作解放出来……而专注于更高级的问题”。

这意味着神经科学领域极有可能出现主攻算术处理的，或是专门研究大脑和经验之间的发育性互动关系。所以，可以将计算障碍理解为：传统的学校环境无法提供合适的环境使得计算障碍者的大脑能够正常发展，学习算术。

当然，数学不仅仅是简单的数字处理和提取先前所学细节。在一个数字社会中，我们必须学会更加复杂的数学概念，如位值，对应中文地区，实际上就是数位（个十百千）的概念，以及更复杂的过程，如“很长的”加法、减法、乘法和除法。近期学术研究发现了大脑神经和解决复杂的多位数算术直接的关联。该研究再次表明，与提取先前所学细节相比，解决新的问题需要更多地激活负责推理和工作记忆的额下回，以及负责相关数值表征的顶内沟。 

这些研究中显著的结果就是顶叶的重要性。顶内沟影响了简单和复杂运算，这意味着基础的数值表征总是会被激活，即便是从记忆中提取早已熟记的个位数加法和乘法细节。这与确立已久的“问题大小效应”观点一致，认为在个位数运算中，数越大，所需时间越长，即便运算者早已熟知这些问题。看来，典型的发展个体即便是从记忆中提取数学细节，也忍不住会同时激活组成数字的意义。如果这一关联未能建立，就必然会妨碍计算。

大脑和计算障碍有关吗？

目前，临床上依据算术测试成绩来确诊计算障碍。然而，即使在小学（1-5年级），算术能力已涉及各种认知能力，包括推理能力、工作记忆、语言理解和空间认识。任何一种能力有缺陷都会影响学习表现。神经的结构及功能差别能够反映出这些认知能力的不同。但是，如果计算障碍是处理数字的关键认知缺陷，那么就应该在支持计算小量物体和比较点阵数量的颅顶骨神经网络中发现异常。

最近基于计算障碍者大脑的发现与处理数字存在关键认知缺陷的观点是一致的：

1. 我们发现在比较数量、数字标志，或算术时，有计算障碍的儿童大脑激活较少。在这些任务中，这些儿童没有怎么使用顶内沟区（即IPS，顶内沟是跟数字计算紧密相关的脑功能区，脑灰质是信息处理的中心, 能对外界的各种刺激做出反应)。

2. 计算障碍者在有关基本数字处理的脑区域中灰质较少，包括左顶内沟、右顶内沟和双侧顶内沟——计算障碍者的这些脑区不及正常学习者发育得好。

3. 除此之外，据医学成像反映，（对计算障碍者和正常学习者来说）相关颅顶骨区之间的连接、颅顶骨区与处理数字的枕颞区之间的连接也有差异——计算障碍者没有发育出能协调计算能力所需脑区的脑结构。

图表1表明，顶内沟只是大量皮层网络中支持数学认知能力的一部分。该网络可能以各种方式失效。如果计算障碍与其他认知缺陷结合（包括工作记忆，推理能力和语言能力），会导致计算障碍表现出不同症状类型。

另外，同种症状也能表现网络中的不同缺陷。比如说，不能正常比较数字是由于跟处理数字有关的梭状回有缺陷（注释：梭状回位于大脑视觉联合皮层中底面，负责对物体次级分类的识别），跟数量大小类比有关的顶内沟有缺陷，或者是梭状回和顶内沟之间的链接较弱。

这和数学教育有什么关系？

尽管不是具体针对计算障碍者，人们对如何帮助数学能力弱的孩子曾有很多尝试。在美国的实证研究集中于贫困背景的孩子，通常他们的社会经济地位较低。目前英国国家战略特别关注算术能力低的儿童，他们诊断每个孩子在理解上的概念差距，用专门设计的视觉、言语和肢体活动给孩子更多个性化支持。可惜，自2003年试行起几乎没有对这些战略有效性的量化评估：“现存评估使用了各种不同的衡量标准，大部分研究未包涵比率收益或者效应值，或能得出这两个统计意义的数据。

所以我们还不太能辨别，使用同等教学的个性化版本来弥补差距是否有效。另外一个问题是，有相关专家训练助教时，这些干预是有效的——但这并非所有学校都能提供。

这些标准方案取决于课程体系所定义的正常算术能力，以及算术能力低的儿童和正常儿童发育轨迹的差异。相比之下，脑科学研究表明，与其应对孤立概念的差距，治疗应该先建立基本的数字概念。这能为独立于学生交际和学校环境的评估和干预提供明确认知目标。在个人认知能力评估中，设置列举和比较数字的测试可以补充标准算术课程测试的结果，从而区分计算障碍与其他原因导致的算术能力低下。

在干预中，加强数字的意义，尤其是数学事实及其构成意义间的联系是很重要的。正如前文所提，从记忆中正常检索简单的算术事实会引出对数字的数值认知。

若缺乏针对性干预，大多数有计算障碍的学生在初中阶段仍挣扎于基本算术。有效的早期干预可减少日后对算术能力的影响。对阅读障碍也是同理。尽管代价不菲，这笔投资将得到12-19倍的回报。

教育者能做什么？

尽管神经科学告诉我们应该教什么，但却没有具体阐明教学的方法。几十年来，具体的操作活动用于数学补习，因为这些方法提供了一些任务使数字概念具有意义，（帮助学习者理解）目标、学习者行动和针对行动的信息反馈三者之间建立内在关系。教育工作者们认为信息反馈在任务中赋予了内在动力，这对于学习者的价值远大于外部动机或是来自监管老师的奖励。

有经验的特殊教育（SEN）教师用身体操作游戏的形式（比如Cuisenaire小棒，数字轨道和扑克牌）让学习者体会数字的意义。通过玩这些游戏，学习者能够在他们的操作中探索，例如，哪个小棒和代表8的小棒能够一起配对组成代表10的小棒。然而，这些方法要求经过特殊培训的老师与单个或一个小组的学习者一起进行且只能在有限的在校时间内操作。

因此，一种很有前景的治疗计算障碍的办法就是创建基于神经科学的适应性软件。此种软件很可能减少对特殊培训教室的需求，同时能摆脱学校课程安排的限制。这里有两个关于上述适应性软件应用的案例。

Number Race这一系统针对的是（人脑）顶叶沟区域的遗传性数字估算系统，（该区域）能帮助早期计算发育。计算障碍者的这一系统并不那么精准，而这一训练就是为提升精确度设计的。内容即是选出两组点阵中的较大一个。软件能适应学习者的水平，如果他们的表现进步了，两列点阵之间的数量差异随之变小。同时，软件会给出信息回应哪一个答案是对的。

另一个适应性游戏 Graphogame-Maths 则指向顶叶沟内计算障碍被削弱的用于表示或操作集合的遗传系统。同样地，游戏是在比较可见的物品列，但这里所指的集合足够小又能数出。其进阶任务要求找出集合中物品的个数和其语言数字标签之间的关联。软件也会给出信息反馈哪一个正确。

研究者以幼儿园的孩子（6到7岁）为对象，做了严谨的实验研究，比较这两款游戏的有效性。这些儿童都被老师认为在早期数学发展上需要特殊支持。在每个上学日10-15分钟，连续3个星期的游戏后，学习者在两种训练游戏中——即数字比较能力有显著的提升，但（这两个游戏对）数数和计算的效果不明显。同时，Graphogame-Maths看起来能在数字比较上带来略微更强且更持久的提升。

尽管Number Race和Graphogame-Maths是基于神经科学研究的适应性游戏，两者都不需要学习者操纵数量。而操纵行为对于提供任务目标，学习者行为和针对行为的信息反馈间的内在关系非常关键。当一个学习环境提供了信息反馈，它就能使学习者做出根据目标调整后的行动，同时，他们能成为自己的“批判者”，而不是仅仅依赖于老师的指导。这同神经科学中无监督强化学习里的“Actor-Critic” 模型很相似。这个模型提出在学习机制内部加入一个“批判元素”，而非外在附加的指导，然后评估信息反馈以建构下一个动作。 

适应性软件中开始出现一种截然不同的方法——应用在特殊教育中的仿真操作性任务。这种给予神经科学研究的方法关注数字处理的过程(图3)。此法中的信息反馈不是一种通过展示正确答案的外在评价，相反，它服务于学习者的内在评价—即要求目标学习者在固定距离内匹配两个数字棒，如不成功，它能让学习者自己解读进一步能达到目标的行动。

适应性软件的另一个优势在于，与和一位老师练习相比，学习者能够在单位时间内训练更多次。研究发现“特殊教育学习者（12岁）采用Number Bonds游戏[如图3所示]，每分钟完成了4-11次的尝试，然而在一个配备3名监督学习者的特殊教育课堂里，在为期10分钟的观察时间中，同样的学习者每分钟仅仅做了1.4次尝试”。在另一组11岁的特殊教育小组里，这个游戏于13分钟内引发了平均173次学习者的操纵 (其中答案完全正确的在5分钟内有88个，因为软件根据学习者的回应调整了时间点)。以这种方法，神经科学研究启示我们在下一代适应性软件中要重点指向哪些东西。

目前我们尚不确定，如果在早期用正确的方式干预计算障碍，是否能将其转化为正常计算水平。计算障碍也许跟读写困难类似，在学习者不能像正常发育的人一样做认知处理时，早期干预能够提升实际效果。

未来面临的挑战

认知和发展科学家近来的研究为计算力障碍提供了一个科学的解释，即：“理解数量”和“对应数字符号与数量间关系”的能力不足。教育科学家开发的个性化学习应用程序可针对性地补救这些缺陷，并可用于为独立学习设计的手持设备上。由于正常人对数值处理（的能力）也存在差异，同样的应用程序也有助于尚处入门（阶段）的主流学习者。可以预见，所有学习者都将从这一发展中受益。

尽管（关于计算力障碍的研究）已取得了许多进展，一些问题仍有待讨论：

• 计算障碍者所表现出的行为缺陷有多种可能性，因此，就产生了一个非常有趣的问题，即估算数量方面存在的缺陷是否可以作为诊断计算障碍的必要或充分条件。这一问题至关重要，因为它影响到基于识数能力这一诊断评估是否足以（判定是否患计算力障碍）——亦或需要多种评估；它还影响到识数是否是补救治疗中唯一值得关注的点——亦或还需关注其他（也许是更偏向符号性的）的行为特征。

• 神经科学的测量方法是否具有足够的灵敏度，能比行为评估的方式更早能够诊断学习者是否具有计算障碍——就如同其在阅读障碍中的应用一样。

• 我们需要对（提高计算障碍者计算能力的辅助方式）做进一步的研究。即便辅助方式能帮助计算障碍者提高计算能力，但无法证实到底是学习者的认知与神经功能变得更贴近常人，还是其在其他方面形成了补偿机制。这需要更多拓展性的研究。可类比的是，在对阅读障碍来说，功能性神经影像已可显示成功的行为干预对神经功能模式的影响。

• 个性化学习应用允许对基于理论的指导干预进行细粒度的评估。举例而言，针对主动操作与关联学习，或内在动机与外在动机间价值的评价，可由正交地 控制学习环境中的这些相关变量来实现。这些因素的影响，可由上述操作针对的学习者执行任务的一系列表现进行行为上的评估，也可由结构性或功能性神经影像针对学习者随时间的神经变化来评估。基于课堂实地而非理论的测试对教育理论的发展具有巨大前景，并可能因此有助于检测神经科学中的假设。

• 迄今为止，计算障碍尚未被教师、教学者以及（似乎包括）研究资助机构广泛关注。受关注可能是为饱受计算力障碍困扰者谋求更好前景的基础。

社会迫切需要帮助有困难的学习者，使其识数能力足以适应现代社会的工作环境。当前有关计算障碍的研究已指出了一条会大有成效的前行路线，但对接受资助而言，仍是“弱关系”，即缺少基于实证的干预方法。了解大脑如何处理数字和算术概念，有助于专注培养学生获取关键概念知识的教学方法研究；也有助于专注跟踪干预后的结构上和功能上的变化的神经科学研究。了解如何帮助这些学习者正在、并将继续带领科学走向下一步。 

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